Quasicristais e padrões que nunca se repetem

Você se lembra do papel quadriculado usado na escola, aquele coberto por quadradinhos bem pequenos?

Ele é uma imagem perfeita do que matemáticos chamam de pavimentação periódica do espaço: formas que recobrem uma área inteira sem se sobrepor e sem deixar vazios.

Se deslocarmos o desenho inteiro pela largura de uma peça (ou seja, fizermos uma translação) ou o girarmos em 90 graus, veremos exatamente o mesmo padrão. Isso acontece porque, nesse caso, a pavimentação inteira tem a mesma simetria de um único ladrilho.

Agora imagine revestir o banheiro com pentágonos em vez de quadrados: isso não funciona, pois os pentágonos não se encaixam entre si sem deixar frestas ou sem que uma peça invada a área da outra.

De modo geral, padrões (feitos de ladrilhos) e cristais (feitos de átomos ou moléculas) costumam ser periódicos como uma folha de papel quadriculado e exibem simetrias relacionadas.

Entre todas as organizações possíveis, essas configurações regulares são favorecidas na natureza porque estão associadas à menor energia necessária para montá-las. Na verdade, faz apenas algumas décadas que sabemos que uma pavimentação não periódica, capaz de produzir padrões que nunca se repetem, pode existir em cristais.

Agora, eu e meus colegas desenvolvemos um modelo que ajuda a compreender como isso se manifesta.

De Penrose aos quasicristais: simetria de rotação sem repetição

Na década de 1970, o físico Roger Penrose descobriu que era possível construir um padrão usando duas formas diferentes, com ângulos e lados relacionados aos de um pentágono. Esse padrão permanece visualmente igual quando é girado em incrementos de 72 graus; isto é, ao completar uma volta de 360 graus, ele parece o mesmo visto a partir de cinco orientações distintas.

Observa-se que muitos pequenos trechos do desenho reaparecem inúmeras vezes. Por exemplo, no gráfico abaixo, a estrela laranja de cinco pontas surge repetidamente.

Mas, em cada ocorrência, essas estrelas ficam cercadas por combinações diferentes de formas, o que indica que o padrão completo não se repete em nenhuma direção. Assim, esse gráfico é um exemplo de padrão com simetria de rotação, porém sem simetria de translação.

Em três dimensões, a situação fica mais complexa. Na década de 1980, Dan Schechtman observou uma liga de alumínio-manganês com um arranjo não periódico em todas as direções, mas que ainda apresentava simetria de rotação ao ser girada pelo mesmo ângulo de 72 graus.

Até então, cristais sem simetria de translação, mas com simetria de rotação, eram praticamente impensáveis - e muitos cientistas não aceitaram o resultado. De fato, foi uma daquelas raras situações em que a definição de "O que é um cristal" precisou ser modificada por causa de uma descoberta. Por isso, esses cristais passaram a ser chamados de “quasicristais”.

Número irracional e quasicristais: o papel de φ

O padrão que nunca se repete em um quasicristal nasce de um número irracional no coração de sua construção. Em um pentágono regular, a razão entre o comprimento do lado da estrela de cinco pontas que podemos inscrever dentro do pentágono e o lado do próprio pentágono é o famoso número irracional “phi” (não confundir com pi), que vale aproximadamente 1,618.

Esse número também é conhecido como proporção áurea (e satisfaz a relação phi = 1+1/phi). Por consequência, quando um quasicristal é construído com ladrilhos derivados de um pentágono - como os utilizados por Penrose -, observamos simetria de rotação em ângulos de 72 graus.

Essa simetria de ordem cinco aparece tanto na imagem do quasicristal, nas dez linhas radiais ao redor do ponto vermelho central (acima), quanto no modelo em escala da parte central do quasicristal, montado com Zometool (abaixo).

No modelo, ajuda pensar que as esferas brancas são os locais onde encontraríamos as partículas/átomos da estrutura cristalina, enquanto as hastes vermelhas e amarelas indicam ligações entre as partículas, representando as formas e as simetrias do arranjo.

O nosso modelo: duas escalas e forte acoplamento

Em nossa publicação recente, apontamos duas características que um sistema precisa ter para formar um quasicristal 3D. A primeira é que o sistema apresente padrões em duas escalas de tamanho diferentes (duas escalas de comprimento) que estejam em uma razão irracional adequada (como phi).

A segunda é que essas duas escalas consigam influenciar-se de maneira intensa. Além dos padrões quasicristalinos que nunca se repetem, o modelo também consegue gerar outras estruturas cristalinas regulares observadas, como hexágonos, cubos de corpo centrado e assim por diante.

Um modelo desse tipo permite investigar a competição entre todos esses padrões distintos e identificar as condições em que quasicristais se formarão na natureza.

A matemática por trás da criação desses padrões que jamais se repetem é extremamente útil para entender como eles surgem e até para projetá-los com propriedades específicas. É por isso que nós, na Universidade de Leeds, junto com colegas de outras instituições, nos interessamos tanto por pesquisas desse tipo.

Aplicações: de lasers a tintas com acabamento refletivo

Ainda assim, essa investigação não é apenas uma ideia matemática conceitual (embora a matemática por trás disso seja viciante) - ela tem grande potencial em aplicações práticas, incluindo a criação de lasers de quasicristais muito eficientes. Isso ocorre porque, quando padrões cristalinos periódicos são usados em um laser, a simetria do padrão repetitivo produz um feixe de laser de baixa potência.

Ao introduzir defeitos no padrão cristalino ou, alternativamente, ao usar um padrão quasicristalino que não se repete na extremidade de saída de um laser, torna-se possível obter um feixe eficiente com alta potência de pico na saída.

Em outras frentes, alguns pesquisadores inclusive consideram os acabamentos refletivos que quasicristais poderiam gerar se fossem adicionados a tintas para uso doméstico.

Priya Subramanian, pesquisadora em Matemática Aplicada, Universidade de Leeds.

Este artigo foi publicado originalmente pela The Conversation. Leia o artigo original.